Molti studenti che studiano matematica avanzata in corsi avanzati probabilmente si sono chiesti: dove vengono utilizzate nella pratica le equazioni differenziali (DE)? Di norma, questo problema non viene discusso durante le lezioni e gli insegnanti procedono immediatamente alla soluzione della teoria del controllo senza spiegare agli studenti l'uso delle equazioni differenziali nella vita reale. Cercheremo di colmare questa lacuna.
Iniziamo definendo un'equazione differenziale. Quindi, un'equazione differenziale è un'equazione che mette in relazione il valore di una funzione derivata con la funzione stessa, i valori di una variabile indipendente e alcuni numeri (parametri).
L'area più comune in cui vengono applicate le equazioni differenziali è la descrizione matematica dei fenomeni naturali. Sono anche usati per risolvere problemi in cui è impossibile stabilire una relazione diretta tra alcuni valori che descrivono un processo. Tali compiti sorgono in biologia, fisica ed economia.
In biologia:
Il primo sostanziale modello matematico che descriveva le comunità biologiche fu il modello Lotka-Volterra. Descrive una popolazione di due specie interagenti. Il primo, chiamato predatore, muore secondo la legge x '= –ax (a> 0) in assenza del secondo, e il secondo, le vittime, in assenza di predatori, si moltiplicano in modo illimitato secondo la legge di Malthus. L'interazione di queste due specie è modellata come segue. Le vittime muoiono ad una velocità pari al numero di incontri di predatori e vittime, che in questo modello si presume sia proporzionale al numero di entrambe le popolazioni, cioè uguale a dxy (d> 0). Pertanto, y '= by - dxy. I predatori si riproducono ad una velocità proporzionale al numero di prede mangiate: x '= –ax + cxy (c> 0). Sistema di equazioni
x '= –ax + cxy, (1)
y '= by - dxy, (2)
descrivendo una tale popolazione, un predatore è una preda ed è chiamato il sistema (o modello) Vassoi - Volterra.
In fisica:
La seconda legge di Newton può essere scritta sotto forma di un'equazione differenziale
m ((d ^ 2) x) / (dt ^ 2) = F (x, t), dove m è la massa del corpo, x è la sua coordinata, F (x, t) è la forza che agisce sul corpo con la coordinata x al tempo t. La sua soluzione è la traiettoria del corpo sotto l'azione della forza indicata.
